Trigonometrie einfach erklärt | Seiten und Winkel in Dreiecken berechnen

2년 전

Trigonometrie

Trigonometrie ist den meisten wohl eher als "Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens" bekannt. Mit diesen trigonometrischen Funktionen lassen sich Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck unter bestimmten Kriterien berechnen! Trigonometrie wird auch in der Schwingungslehre verwendet mit welcher wir uns jedoch nicht in diesem Blogeintrag beschäftigen.

pi-1453839_1920.jpg

pagedivider3.png

Was sind "Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens"

Wie bereits oben gesagt sind Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens trigonometrische Funktionen, welche zum Ausrechnen von Winkeln und Seiten genutzt werden. Der Cotangens existiert zwar wird allerdings nicht genutzt, da er mit dem Tangens überflüssig wird.
Um mit den Funktionen Winkel und Seiten ausrechnen zu können, braucht man folgende Gleichungen:

sinus.PNG

cosinus.PNG

tangens.PNG

Es gibt auch eine Alternative in Form eines Merkspruches "GAGA HühnerHof AG" oder "Gustav Hausers alte Hennen gackern am Abend gerne" welche beide auf den Term GAGAHHAG.png verweisen. In diesem Term steht "G" für Gegenkathete, "A" für Ankathete und "H" für Hypotenuse, also der erste Part des Terms für Sinus der zweite für Cosinus und der dritte für Tangens (der vierte steht für den nicht verwendeten Cotangens).

pagedviders.png

Wie rechnet man mit Trigonometrie?

Für das Rechnen mit Sinus, Cosinus etc. braucht man zunächst einmal ein Dreieck wie dieses: Dreieck.PNG
In diesem Dreieck liegt der Winkel α zwischen den Punkten CAB, der Winkel β liegt zwischen den Punkten ABC und der Winkel γ liegt zwischen den Punkten BCA. Da γ 90° beträgt, ist die Seite c also die Hypotenuse in unserem Dreieck.

Um mit den trigonometrischen Funktionen rechnen zu können bedarf es mindestens einer Seite, einem Winkel (der nicht rechtwinklig ist) oder einer zweiten Seite.
Beispiele:
a) α = 54° und c = 10cm
b) a = 10cm b = 12cm

pagedivider3.png

Beispiel a wird folgendermaßen gerechnet:

sinus.PNG

Setzt man die Zahlen ein, so erhält man:

sinus +zahlen.PNG

Diesen Term muss man nach a umstellen, dann erhält man:

a.PNG
as.png

Jetzt hat man zwei Winkel und zwei Seiten.
Den letzten Winkel rechnet man am einfachsten über den Innenwinkelsatz aus:

α + β + γ = 180° | - α
β + γ = 180° - α | - γ
β = 180° - α - γ | - γ
β = 180° - 54° - 90°
β = 36°

Und die letzte Seite rechnet man mit dem Satz des Pythagoras aus:

a² + b² = c² | - a²
b² = c² -a²
b² = 10 cm² - 8,09 cm² | √
b = 5,88 cm

Nun hat man alle Winkel und Seiten in diesem Dreieck berechnet:

a = 8,09 cm, b = 5,88 cm, c = 10 cm, α = 54°, β = 36°, γ = 90°

pagedviders.png

Beispiel b:

In Beispiel b benötigt man den Term:

tangens.PNG

In diesen Term setzt man die einem bisher bekannten Größen ein:

tangens einsetzen.png

Diesen Term stellt man nun nach dem Winkel α um, dann erhält man:

tangens hoch -1.PNG

tangensasd.png

Nun hat man zwei Seiten und zwei Winkel und kann über den Innenwinkelsatz und den Satz des Pythagoras die beiden fehlenden Größen berechnen:

a² + b² = c² | Zahlen einsetzen
10 cm² + 12 cm² = c²
244 cm² = c² | wurzel.png
15,62 cm = c

und

α + β + γ = 180° | - α
β + γ = 180° - α | - γ
β = 180° - α - γ | - γ
β = 180° -39,81 ° - 90°
β = 50,19°

pagedivider3.png

Vielen Dank für die großartig Page Dividers an @kristyglas und für das Titelbild, was man hier findet!
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pagediviiders 2.png

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