Gödels Ontologischer Gottesbeweis - Stärken und Grenzen mathematischer Logik

4년 전

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Da meines Empfindens nach das ‚M‘ in STEM etwas stiefmütterlich behandelt wird, möchte ich mit diesem Artikel versuchen einen der bekanntesten, mathematischen Beweise verständlich zu erklären:


Gödels ontologischer Gottesbeweis


Die diesem Beweis zu Grunde liegende Arbeit ist sowohl aus logischer als auch aus philosophischen Sicht höchst interessant. Allem voran sollten wir aber kurz das notwendige Vokabular erläutern:

  • Ontologie:
    Dies ist die philosophische Lehre über die Natur des Seins, des Werdens, der Existenz, der Realität sowie der Kategorisierung und Beziehung zwischen allem was ist. Sie wird klassischerweise als eine der großen Spaten der Philosophie aufgeführt und ist auch bekannt als Metaphysik. - Ref. [2], [3]

  • Entität:
    Das ist etwas. Es kann als Subjekt oder Objekt, tatsächlich oder potentiell existieren. Da es sowohl physikalische oder abstrakte Existenz erlaubt, ist dieser Term nicht auf rein materielle Existenz beschränkt. - Ref. [2]


Der mathematische Beweis


Gödel-Formalisierung.png
Quelle: fainhblog

Formal ist der Beweis korrekt. Die Verwendung von mathematischer Logik ist eines der stärksten - wenn nicht das wichtigste - Werkzeug das wir haben, um Fragen anzugehen, welche wir nicht mit dem ‚heiligen Gral' des Empirismus untersuchen können.

Aber nun zu der Frage wie der Beweis genau aufgebaut ist.
Im Folgenden präsentiere ich eine möglichst eingängige verbale Erklärung der verwendeten Prämissen und abgeleiteten Schlussfolgerungen. Das die in deutscher Sprache wiedergegebene Version des mathematischen Beweises weniger präzise (aber dafür leichter verständlich) ist liegt in der Natur der Sprache. Nicht umsonst wird die Mathematik gerne als ‚linguis pura‘ bezeichnet.

  1. Prämisse - Entweder ist eine Eigenschaft oder ihr Gegenteil positiv, aber niemals beide. Dies bedeutet, dass wenn eine Eigenschaft positiv ist, deren Gegenstück negativ ist und vice versa.

  2. Eine Eigenschaft, welche zwangsläufig durch eine andere positive Eigenschaft impliziert wird, ist ebenfalls positiv.
    Wäre dies nicht der Fall, so würde die erste Eigenschaft nicht als positive Eigenschaft definiert werden können, da sie notwendigerweise eine negative Komponente für die Entität, welche diese Eigenschaft trägt, bereitstellt.

  3. Theorem - Positive Eigenschaften können Teil von Entitäten sein. Es ist also möglich, dass es eine Entität gibt, welche eine oder mehrere positive Eigenschaften zeigt.

  4. Definition - Eine göttliche Entität besitzt alle positiven Eigenschaften.

  5. Die Eigenschaft 'göttlich' zu sein ist daher positiv.
    Für diesen Schluss wird die in Punkt 2. erläuterte Logik in Umkehrung verwendet.

  6. Folgerung - Da positive Eigenschaften möglicherweise Teil von Entitäten sein können, ist es möglich, dass eine Entität, welche die positive Eigenschaft des 'göttlichen' besitzt, existiert. Es ist daher möglich, dass Gott existiert.

  7. Axiom - Positive Eigenschaften sind notwendigerweise positiv.

  8. Definition - Die ‚Essenz‘ eines Individuums ist ein Charakteristikum, welches eben diesem Individuum zugeschrieben werden kann und notwendigerweise alle Eigenschaften des Individuums impliziert.

  9. Theorem - Ein göttliches Wesen hat die Essenz des 'göttlichen'.
    Als Konsequenz der zuvor eingeführten Punkte.

  10. Definition - Als die notwendige Existenz eines Individuums wird die notwendige Exemplifizierung seiner Essenz verstanden. Das bedeutet, dass eine Entität zwingend existieren muss, sobald alle diese Eigenschaften (oder übergeordnet: seine Essenz) notwendigerweise in einer Entität wiedergefunden werden müssen.

  11. Axiom - Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft.

  12. Theorem - Daraus abgeleitet ergibt sich notwendigerweise, dass Gott existiert. Basierend auf den zuvor etablierten Statements ist dies die einzig korrekte Folgerung: Gott besitzt alle positiven Eigenschaften, also besitzt er auch die Eigenschaft der notwendigen Existenz.


Die Grenzen dieses Beweises


Von einem philosophischen Blickwinkel aus lassen sich bei einem jeden mathematisch korrektem Beweis immer die Prämissen angreifen. Der Fakt, dass die hier verwendeten Prämissen und Definitionen überwiegend sehr allgemein und klar formuliert sind lässt sich definitiv als eine Stärke dieses ontologischen Beweises anführen.

Ein wichtiger Punkt dieser Arbeit ist, dass sie es nicht notwendig macht, dass wir - als Menschen mit Fehlern und subjektiven Paradigmen - darüber entscheiden müssen welche Eigenschaften positiv oder negativ sind. Die exakte Zuordnung einzelner Eigenschaften liegt außerhalb des Beweises, nur eine allgemeine Kategorisierung, welche - wenn man so will - eine allwissende, göttliche Entität einzuteilen vermag, wird als Grundlage verwendet. Die axiomatische Aussage, dass notwendige Existenz eine positive Eigenschaft ist, ist diesbezüglich die einzig notwendige Zuordnung.

Weiters lässt sich in Frage stellen, ob das für diesen Beweis verwendete Logiksystem selbst aussagekräftige Resultate für den hier betrachteten Fall liefert. Generell kann und wird noch einiges mehr an diesem Beweis diskutiert. Darauf soll an dieser Stelle jedoch auf Grund des einführenen Charakters dieses Artikels nicht näher eingegangen werden.


Disclaimer

Dieser Artikel zielt nicht darauf ab die religiösen Einstellungen auch nur von irgendjemanden zu verletzen. Ich präsentiere diesen ontologischen Beweis deshalb, weil er aus rein intellektueller und wissenschaftlicher Sicht höchst interessant ist.

Eine ganze Reihe von Argumenten, welche für und gegen die Existenz Gottes sprechen, können in weiterführender Literatur gefunden werden. Eine erschöpfende Behandlung dieses Themas ist mit diesem kurzen Artikel hier definitiv nicht direkt verbunden und bedarf einer aufgeschlossenen und offenen Gesprächsbasis.


Der Autor des Beweises


Kurt Friedrich Gödel war ein österreichisch-amerikanischer Mathematiker und Philosoph und einer der wichtigsten und einflussreichsten Logiker des 20. Jahrhunderts.
Er leistete signifikante Beiträge zur Prädikatenlogik, zu den Beziehungen der intuitionistischen Logik sowohl zur klassischen Logik als auch zur Modallogik sowie zur Relativitätstheorie in der Physik.


Ich hoffe, dass euch der heutige Ausflug in
mathematisch-logische Gefilde gefallen hat!

Euer,
mountain.phil28

Referenzen:

  1. Formanek, Nico: Gödels ontologischer Gottesbeweis, 31. March 2011
  2. The Merriam-Webster Dictionary
  3. Ontologie, LMU München, Fakultät für Philosophie, Wissenschaftstheorie und Religionswissenschaft
  4. Kurt Friedrich Gödel, ein Wikipedia Artikel, eingesehen am 06.04.2018
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Dieser Artikel hat mich sehr interessiert, da ich als Mathematiker natürlich Kurt Gödel kenne. Ich habe auch das Buch "Gödel, Escher, Bach" von Douglas R. Hofstadter in meinem Besitz. Von diesem Beweis hatte ich allerdings bislang nichts gehört.
Gibt es Aussagen und Interpretationen von Gödel selbst zu seinem Satz?
Wie ist denn sein Gottesbild gewesen?
Faszinierend, wie sich hier Philosophie und mathematische Logik die Hände reichen!
Ich hoffe, dass sich noch einige Leser und Kommentatoren hier einfinden und ein paar Upvotes spendieren.

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Vielen Dank für deinen aufbauend positiven Kommentar! Kurt Gödel hat seinen Beweis selbst gar nicht veröffentlicht sondern er wurde in seinen Hinterlassenschaften gefunden. Vermutlich weil er vermutete und befürchtete durch verbohrte Geister ungerechtfertigt vorverurteilt oder diskreditiert zu werden. (Quelle)



Was seine persönliche Glaubensausrichtung betrifft, findet man so manche Angaben die sagen, dass er Theist war. Fix sagen kann ich dir das leider nicht.

LG,
mountain.phil28

  ·  4년 전

Entität: Das ist etwas. Es kann als Subjekt oder Objekt, tatsächlich oder potentiell existieren.

Wenn ich das richtig verstehe, heißt das, dass die Entität genauso nur formal oder aus subjektiver Sicht (anders gesagt: als Konstrukt) bestehen kann? In dem Sinn beweist Gödel doch eigentlich nur, dass die Entität "Gott" entweder real oder als Konstrukt existiert. Zweiteres wird wohl niemand anzweifeln.

Cooler Artikel, vielen Dank!

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Diese kurze Begriffserklärung mag vielleicht etwas unzureichend sein. Danke fürs hinweisen!
Bei einer Entität handelt es sich um etwas Existierendes, was jedoch nicht auf materielle Existenz limitiert sein muss. Soll heißen es kann zum Beispiel auch den in der Ontologie gerne verwendeten Substanzbegriff, also das Wesen von etwas, beinhalten.
'Entität' wird in der Philosophie (sp. Ontologie) somit als Sammelbegriff für Dinge, Eigenschaften, Relationen, Sachverhalte oder Ereignisse eingesetzt.

Ich hoffe, ich konnte das Begriffsverständnis klarstellen. :-)


Bitte gerne! :-) LG, mountain.phil28
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Ich liebe die Entität, vielleicht weil sie für das menschliche Gehirn manchmal schwer zu erfassen ist.
Ich find deinen Artikel richtig toll und interessant!
Ich hab keine Ahnung von Mathematik, kann aber mit irgendeinem Teil von mir ein bisschen von dem erfassen, was du schreibst.
Die Entität kenne ich eher aus dem Buddhismus...
Herzlichen Gruß, Mo*

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Danke! Ich freue mich sehr über dein begeistertes und richtiggehend antreibendes Kommentar! :)
LG,
mountain.phil28

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Na dann leg los! ;)

Das kommt mir denn sehr bekannt vor...! Da haben wir uns vor Wochen ja schon mal lang und breit darüber unterhalten! :)

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Ja stimmt! Ich habe deine damals angeführten Punkte direkt eingebaut, um in der deutschen Version direkt klarer zu sein.
Vielen Dank dafür,
mountain.phil28

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Ja, damals war das ja eine Kommentar-Kette! Ich war hocherfreut, deinen Beitrag zu entdecken! Solche Logik-Juwelen sollten on der Tat Allgemein- beziehungsweise Standardwissen sein. Danke, dass du uns das näherbringst!

Durch meinen Kopf geistert allerlei Wissenschaftlich-Spekulatives, doch es reicht noch nicht, um es öffentlich auszubreiten. Ich überlegte schon, ob es nicht sinnvoll wäre, mich im Gödelschen Geist mit dir darüber zu unterhalten.... Doch nun ist für mich mal kaum Zeit fürs Dichten und Denken, schade. 😀

Die axiomatische Aussage, dass notwendige Existenz eine positive Eigenschaft ist, ist diesbezüglich die einzig notwendige Zuordnung.

Mein Wissen über die Mathematik ist auf "2 +2 = 5" beschränkt, aber ist die Prämisse, dass es entweder Positiv oder Negativ ist, nicht viel zu ... simplifiziert?

Dieser "Gott", würde also alleine dadurch gerechtfertigt existieren, wenn "das Positive" existiert? Würde er existieren, müsste er demnach auch 100%-Positiv/Gut sein, da die mathematische Logik in dem Falle nur "Wahr/Falsch" zulässt. Allerdings erleben wir in unserer Welt, dass dieser Gott eben nicht "100% Gut" ist.

Mathematisch scheint die Schlussfolgerung zwar richtig zu sein, doch fehlt es - wie du schon angedeutet hast - durchaus an den Differenzierungsmöglichkeiten und es hakt an der Interpretation des Wortes "positiv", weswegen der Beweis wohl hinfällig ist.

Schade eigentlich, dass man weder die Existenz noch die Nicht-Existenz so beweisen kann.

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Deiner Aussage liegt ein Zirkelschluss zugrunde. In dem Beweis wird nie von "dem Positiven" gesprochen, es wird nur ein Kategoriensystem postuliert, in welchem nach positiv und negativ unterschieden wird. (Und wie bereits darauf hingewiesen, liegt der Geniestreich darin, dass man für den Beweis nicht wissen muss, was wohin zugeordnet werden muss.) Wenn man so will ist das von dir als "das Positive" (nicht als Kategorie, mehr als Wesensstruktur) bezeichnete das "Göttliche", da der göttlichen Essenz als Teildefinition dieses Beweises alles aus der positiven Kategorie zugeordnet wird.


Ja die mathematische Logik lässt hier nur Wahr oder Falsch als Antwort zu. Das 100% positive Eigenschaftsprofil ist jedoch nicht eine Folge dieser Logik, sondern eine Definition/Prämisse.


'Allerdings erleben wir in unserer Welt, dass dieser Gott eben nicht "100% Gut" ist.'

Das hier ist eine diffizile Aussage, da sie zutieft pantheistisch ist und daher an dieser Stelle für Unklarheit sorgen kann. Die philosophischen Gewässer, welche wir hier betreten, mögen verwirrend sein. Ich hoffe, meine folgende - sicher nicht allumfassende - Antwort findet keinen Anstoß und stößt auf Interesse, um sich selbstständig mehr mit der Materie zu beschäftigen:
Wir erleben nicht Gott, wir erleben unsere Umgebung, die Welt, das Universum und ultimativ die allem zugrunde liegenden Naturgesetze. (Diese stehen nicht in Konkurrenz zur Existenz Gottes, vielmehr ist Gott eine mögliche Antwort auf die Frage woher diese Gesetze kommen.) Wenn man sich nun mit einer modernen, wissenschafts-kompatiblen Interpretation der Genesis beschäftigt (dafür empfiehlt sich Literatur von Prof. John Lennox) kann man zu dem Schluss kommen, dass Gott die Naturgesetze und das Universum an sich geschaffen hat. Als Folge dieser Schöpfung existieren in unserem Universum auch Dinge/Ereignisse, welche wir als Teil unseres Lebens als 'negativ' beurteilen würden. (zB. Tsunamis,...)
Diese ergeben sich als notwendige Konsequenz, da sie den selben grundlegenden Gesetzen entspringen wie das, das wir als 'Gut' bezeichnen würden.
Dazu zwei Klarstellungen: Entgegen der Interpretation in einem pantheistischen Weltbild erleben wir nicht Gott, sondern seine Schöpfung - deren Kategorisierung nicht Teil dieses Beweises ist. Weiters liegt es auf Grund unserer menschlichen Natur außerhalb unserer Fähigkeiten etwas sicherlich korrekt als positiv oder negativ einzuordnen. Wie schon gesagt, ist dies aber eben nicht notwendig. Es bedarf für diesen Beweis nicht, dass wir wissen was genau als positiv oder negativ zu interpretieren ist. (Dies überlässt man, wenn man so will, dem Allmächtigen, denn wozu ist er den allmächtig.) Das Schöne daran ist, dass sich hier die Grenzen der wissenschaftlichen Beweisführung und der theistischer Gottglaube ergänzen.

Ich hoffe, ich habe nicht zu sehr für Aufruhr oder Verwirrung gesorgt. Dieses Thema und die dafür zur Verfügung stehende, beachtlich umfangreiche Literatur (mit einer ganzen Reihe anderer Beweise und dazugehörigen Diskussionen) sollte man sich definitiv in Ruhe zu Gemüte führen.

LG,
mountain.phil28

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bezeichnete das "Göttliche", da der göttlichen Essenz als Teildefinition dieses Beweises alles aus der positiven Kategorie zugeordnet wird.

Je compris.

einer modernen, wissenschafts-kompatiblen Interpretation der Genesis beschäftigt (dafür empfiehlt sich Literatur von Prof. John Lennox) kann man zu dem Schluss kommen, dass Gott die Naturgesetze und das Universum an sich geschaffen hat.

Klingt eigenartig, aber interessant.

Zwar bin ich in dieser Interpretation der Dinge und der Welt nicht ganz deiner Meinung, allerdings finde ich diesen Gedankengang ziemlich interessant!
Vielen Dank für die Erläuterung.

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You are Welcome. ;-)

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in diesem zusammenhang weise ich darauf hin, dass gut und schlecht subjektive wahrnehmungen sind. aus perspektive der beutelwölfe oder hausschweine ist die menschheit wohl schlimmer als die zehn plagen zusammen.

Hallo @mountain.phil28,

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Zum aktuellen Tagesreport

Auch wenn du dies wsl. nicht mehr sehen wirst: Tausend Dank für diesen Artikel!

Ich bin aktuell auf der Suche nach Schmökern in diesem Bereich (Mathematik, Physik) und denke, ich werde dem Herr Gödel 'mal eine Chance geben =)

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Hallo @menckensgeist freut micht, dass dir der Artikel gefallen hat!
Ich habe deinen Kommentar leider erst spät, aber doch gesehen. ;)

Wenn du über besonders spannende Lektüre kommst kannst du sie ja gerne mit uns teilen!

Liebe Grüße,
mountain.phil28