Fundamentos físicos y matemáticos de la modulación de amplitud de una señal

작년

¡Hola amigos de Steemit!

Reciban un cordial saludo.

La transmisión y recepción de información representa uno de los logros más importantes de las telecomunicaciones, cuyas contribuciones han permitido el avance y desarrollo de un sin fin de tecnologías.

Una de las herramientas más importante de un sistema de comunicación es la modulación.

Si bien son diversas las técnicas de modulación, todas tienen como finalidad una trasmisión más eficiente y segura de la información a través del canal utilizado como vía de enlace entre el transmisor y el receptor.

Dada su importancia, en esta publicación analizaremos los fundamentos físicos y matemáticos que permiten la modulación de una señal.

Fundamentos teóricos

¿Qué es la modulación? y ¿Por qué modulamos una señal?

La transmisión de una señal de baja frecuencia a través del canal de un sistema de comunicación no es un proceso directo entre el transmisor y el receptor. Para que dicha transmisión sea posible o se facilite su transmisión a través del canal del sistema, es necesario que la señal mensaje “m(t)” se ajuste al rango de frecuencia en el que opera el canal de transmisión.

En los enlaces de comunicaciones, las antenas receptoras utilizadas tienen como requerimiento para una adecuada recepción de la señal, que sus dimensiones sean cercanas a la décima parte de la longitud de onda de la señal recibida.

Por definición, la longitud de onda de una señal está dada por la siguiente expresión:

Uno de los casos más conocidos de señales de baja frecuencia es el caso de las señales de voz humana, las cuales operan en el intervalo de frecuencias comprendido entre los 300 Hz y 3 KHz, con un ancho de banda que se ha establecido en los sistemas de comunicaciones en el orden de los 4 KHz.

Una señal de voz con una frecuencia de 4 KHz tendría una longitud de onda según lo muestra la ecuación (1) de 75 Km.

Esto implicaría que las dimensiones de la antena estarían en el orden de los 7,5 Km. Dado que dichas dimensiones carecen de toda lógica, es necesario que la señales de bajas frecuencias, como las señales de voz mencionadas, sean trasladadas a un rango de frecuencia mayor de modo que permitan una reducción significativa de sus longitudes de onda y la posterior captación por medio de antenas cuyas dimensiones sean de uso práctico.

Es este proceso de traslación de frecuencia de una señal mensaje a una frecuencia distinta, ajustada con el canal de transmisión y a los elementos que la constituyen lo que se conoce como Modulación de una señal.

El proceso de modulación de una señal es logrado utilizando una señal portadora de alta frecuencia “c(t) ”, por lo general de tipo sinusoidal, en la que el mensaje va implícito en su amplitud o su argumento.

De acuerdo a que parte de la señal portadora lleve el mensaje o la información, la modulación se clasifica en modulación de amplitud o modulación angular.

En la siguiente representación gráfica se muestra un diagrama esquemático de la modulación de una señal.


Figura 1 – Diagrama esquemático de la modulación de una señal
(Elaborado por @lorenzor en Microsoft Powerpoint)

Am → Amplitud del mensaje
Ac → Amplitud de la portadora
fm → Frecuencia del mensaje
fc → Frecuencia de la portadora

En la imagen 1 se puede observar que el modulador actúa como un mezclador entre la señal de información y la portadora, generando una señal "S(t)" modulada.

Para facilitar nuestro análisis limitaremos nuestro trabajo a una modulación de amplitud (AM), donde el mensaje va impreso en la amplitud de la señal transmitida o modulada.

En la siguiente imagen se muestran las formas de cada una de las señales bajo el esquema de modulación de amplitud con la portadora incluida.


Figura 2 – Representación gráfica de la señal mensaje (de un solo tono), portadora y señal modulada.
(Elaborado por @lorenzor en Microsoft Powerpoint)

Es importante observar que la envolvente de la señal "S(t)" contiene la información del mensaje, la cual es recuperada en el receptor bajo un proceso inverso conocido como Demodulación.

Espectro de una señal modulada

La traslación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia de las señales involucradas permite ver con mayor claridad el corrimiento en frecuencia que experimenta la señal mensaje en el proceso de modulación.

Esta transformación de dominio está gobernada por la transformada de Fourier, definida por la siguiente expresión:

→ Señal en tiempo
→ Señal en frecuencia(Espectro de x(t) )

Simbólicamente la transformada de Fourier se expresa de la siguiente forma:

Dado que la señal modulada en amplitud está definida por la siguiente expresión:

La aplicación de transformada de Fourier definida por la ecuación (2) sobre la expresión (4) nos permite obtener el espectro de la señal modulada, según se muestra en la siguiente ecuación:

En la siguiente imagen se observa el desplazamiento en frecuencia que experimenta una señal mensaje "M(f)" cuando esta es sometida al proceso de modulación, dada por la ecuación (5).


Figura 3 – Traslación de frecuencia (modulación) de una señal mensaje
(Elaborado por @lorenzor en Microsoft Powerpoint)

En este proceso de modulación la señal transmitida o modulada conserva ambas bandas laterales, además de su portadora, por lo que es conocida como modulación de doble banda lateral con portadora.

Índice de modulación

Otro de los parámetros fundamentales en una adecuada modulación de amplitud es el índice de modulación “µ”, el cual es una medida de los cambios que sufre la amplitud de la portadora y está definido por la siguiente expresión:

En el diseño de moduladores de amplitud, un valor del índice de modulación mayor que la unidad genera sobre-modulación y distorsiones que dificultan la posterior recuperación del mensaje.

Potencia de la señal transmitida

La potencia en la transmisión de señales moduladas en amplitud está distribuida entre la potencia requerida por la portadora y la potencia del mensaje y es obtenida a partir de la siguiente expresión:

→ Valor promedio del mensaje
→ Potencia promedio del mensaje

Los requerimientos en potencia de moduladores de amplitud con portadora incluida son una de las desventajas que presenta este modelo, ya que gran parte de la energía debe ser empleada en la transmisión de la portadora.

Por esta razón, se utilizan modelos donde la portadora es suprimida antes de la transmisión permitiendo optimizar el uso de la potencia en la transmisión de señales moduladas en amplitud.

En la actualidad existen una gran variedad de moduladores de amplitud que han permitido la transmisión de señales en un rango de frecuencias en el que operan una gran cantidad de sistemas de comunicación.

Su bajo costo y eficiencia los han convertido en una excelente herramienta de transmisión de señales de radio, cuyo uso ha traído grandes beneficios tanto en el uso domestico como en el comercial.

A continuación se muestra un pequeño diseño de un modulador de amplitud elaborado en el laboratorio de prueba con un transistor de bajo costo 2N3904.

En este diseño la señal mensaje o moduladora de baja frecuencia (5KHz) es acoplada con una señal portadora de alta frecuencia (5MHz), generando una señal modulada a la salida del transistor.


Figura 4 – Diagrama esquemático de un modulador de bajo costo con un transistor 2N3904.
(Elaborado por @lorenzor en Microsoft Powerpoint)

En las siguientes imágenes se muestra el circuito real del modulador de amplitud desarrollado en el laboratorio.


Figura 5 – Circuito real del modulador de amplitud con un transistor 2N3904.
(Fotografía tomada por @lorenzor en el laboratorio)


Figura 6 - Voltaje de alimentación DC del transistor 2N3904.
(Fotografía tomada por @lorenzor en el laboratorio)


Figura 7 – Visualización de la frecuencia de la señal portadora.
(Fotografía tomada por @lorenzor en el laboratorio)


Figura 8 – Visualización de la frecuencia de la señal mensaje.
(Fotografía tomada por @lorenzor en el laboratorio)


Figura 9 – Visualización de la señal modulada.
(Fotografía tomada por @lorenzor en el laboratorio)

La señal modulada visualizada en el osciloscopio nos muestra que el diseño propuesto cumple con el propósito de un modulador de amplitud.

El desarrollo de nuevas tecnologías ha permitido la creación de moduladores más avanzados, cuyos modelos están todos fundamentados en los principios que aquí hemos expuesto.

Gracias a las técnicas de modulación se ha facilitado la transmisión de información, ordenada en canales o bandas de frecuencia, permitiendo minimizar de esta forma las interferencias.

Espero que este artículo permita afianzar sus conocimientos sobre la modulación de una señal. Si tienen alguna pregunta, duda o sugerencia, dejen sus comentarios y con mucho gusto les responderé.

Gracias por leer mi publicación.


Referencias

  • Introducción a los sistemas de comunicación- F. G. Stremler. Tercera edición. Addison Wesley Longman.
  • Introduction To Electromagnetic Fields Third Edition / Clayton R. Paul, Keith W. Whites, Syed A. Nasar
  • Electrodinámica Clásica Segunda Edición / John David Jackson
  • Electromagnetismo Conceptos y Aplicaciones Cuarta Edición / Stanley V. Marshall, Richard E. DuBroff, Gabriel G. Skitek
  • Teoría electromagnética. Willian H. Hayt, Jr., John A. Buck. Séptima edición. McGraw Hill.
  • Sistemas de Comunicaciones Electrónicas. Tomasi, Wayne. Editorial Prentice Hall, Segunda Edición, 1996.

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Saludos profesor @lorenzor. Excelente post. Es interesante que este fue el primer uso que se le dio al Transistor de Unión Bipolar (BJT). De hecho la señal recibida era de ondas de Radio, y toda esta era emitida por los famosos telégrafos.

Hoy día, la optimización de estos dispositivos nos ha permitido modular distintos tipos de señales. Yo por mi parte, destaco la importancia de estos dispositivos y la revolución de ellos en el año 1900.

Por otro lado, me encanta la inclusión de este experimento en su teoría. Que no es más que un circuito amplificador de conexión común-emisor.

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Saludos estimado @djredimi2. Un gusto tenerlo de visita por aquí. Es correcto el uso de los transistores han sido una revolución sin precedentes en las telecomunicaciones. Gracias por su apoyo.

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Saludos estimado @lorenzor. Buen post, de fácil lectura para los que no manejamos la electrónica. Ciertamente que el desarrollo de las técnicas de modulación permitieron trasmitir información a grandes distancias haciendo uso de antenas con dimensiones prácticas (me sorprendió el cálculo de las dimensiones de una antena para transmitir una señal de voz), revolucionando medios tan importantes como la televisión y la radio. Una pregunta, ¿hay diferencias en calidad de imagen y sonido cuando una señal es modulada en frecuencia que cuando es modulada en amplitud?

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Saludos estimado @emiliomoron. Gracias por tu visita. Ciertamente tenemos diferencias muy marcadas entre la modulación en frecuencia (FM) y la modulación en amplitud(AM). Dado que el ruido tiene mayores efectos de interferencia sobre la amplitud de una señal que sobre su frecuencia , las señales moduladas en amplitud son mas vulnerables a este factor, ya que la información o el mensaje va impreso en su amplitud, mientras que las señales moduladas en frecuencia su amplitud es constante y su frecuencia es variable. Esta es una de las razones por las que las señales moduladas en frecuencia son de mayor calidad. Espero que mi respuesta aclare tu inquietud. Gracias por tu interés.


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Saludos mi estimado @lorenzor, tu publicación muy educativa y entendible a pesar de que no conozco mucho de la electrónica, mis felicitaciones, éxitos....

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saludos @felixrodriguez. Gracias por tu visita y apoyo.

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